但傅裏葉變換理論證明，有限時間的信號的頻譜是無限寬的，反之，有限頻譜的信號的持續時間也會是無限長的。所以按照采樣定理采樣時，采樣序列應該是無限長的，不滿足DFT條件。實際中，對於頻譜較寬的信號，為了防止時域采樣後的“頻譜混疊”，壹般采用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信號的借出小於折疊頻率；同樣，對於持續時間較長的信號，采樣點過多也會導致存儲和計算困難，壹般只截取有限的點進行計算。由上可見，DFT對模擬信號的頻譜分析只能是近似的，其近似程度取決於信號帶寬、采樣頻率和截取長度。
模擬信號xn(t)的傅立葉變換對為
x(jω)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jωt dt
x(t)=1/2π{-∞，+∞} x(jω)*e^jωt dt
DFT方法用於如下計算變換對:
(a)以t為間隔采樣xn(t)，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n)，因為
t→nT，dt→T，{-∞，+∞}→∑n={-∞，+∞}
所以去吧
x(jω)≈∑n={-∞,+∞}x(nt)*exp^-jωnt*t
x(nT)≈1/2π{0，ωs } x(jω)*e^jωnt dω
(b)將序列x(n)= xn(t)截斷成包含n個采樣點的有限序列。
x(jω)≈t∑n={0,n-1}x(nt)*exp^-jωnt*t
由於時域采樣，采樣頻率為fs=1/T，所以頻域產生壹個以fs為周期的周期性延拓。如果頻域是帶限信號，可能不會產生頻譜混疊，成為連續的周期性頻譜序列，頻譜的周期為fs = 1/t。
(c)對於數值計算，在頻域也需要采樣，即在頻域的壹個周期內取n個樣本，fs=NF0，每個樣本的間隔為F0。頻域內的采樣使頻域內的積分表達式變成求和表達式，在時域內得到被截斷的離散時間序列的周期延拓，時間周期為T0=1/F0。所以有
ω→kω0，dω→ω0，{-∞，+∞} dω→∑n = {-∞，+∞}ω0
T0=1/F0=N/fs=NT
ω0 = 2πF0
ω0T =ω0/fs = 2π/N
x(jkω0)≈t∑n={0,n-1}x(nt)*exp^-jkω0nt